מהו וקטור – וקטורים שווים, נגדיים וקולינארייםוקטורים 472 · שיעור 1
וקטורים · שאלון 472
שיעור 1: מהו וקטור – וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים
פרק 1 – מושגי יסוד וגופים במרחב
1נוסח השאלה
2סעיף א – וקטורים שווים
3סעיף ב – וקטורים נגדיים
4סעיף ג – וקטורים קולינאריים
5סעיף ד – אורכי וקטורים
📄 נוסח השאלה
בסרטוט תיבה ABCDA′B′C′D′. אורכי המקצועות: AB = 4 , BC = 3 , AA′ = 12. הנקודה M היא אמצע המקצוע AB.
א. רשמו את כל הווקטורים השווים לווקטור AB שהתחלתם וסופם בקודקודי התיבה.
ב. רשמו את כל הווקטורים הנגדיים לווקטור AA′ שהתחלתם וסופם בקודקודי התיבה.
ג. האם הווקטורים AM ו־AB קולינאריים? הביעו את AM ואת MB באמצעות AB.
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. חשבו את האורך של הווקטור AC ואת האורך של הווקטור AC′.
סעיף א – וקטורים שווים
וקטור הוא קטע שיש לו כיוון: נקודת התחלה ונקודת סוף. מסמנים בקו מתחת לאותיות: AB (מ־A אל B).
📐 וקטורים שווים
בתיבה, כל המקצועות המקבילים ל־AB שווים לו באורך: A′B′ , DC , D′C′. בוחרים בכל אחד את הכיוון של AB (מהפאה ADD′A′ אל הפאה BCC′B′).
AB = A′B′
AB = DC
AB = D′C′
שימו לב: BA אינו שווה ל־AB – יש לו אותו אורך אבל כיוון הפוך.
📐 וקטורים שווים
אותו כיוון ואותו אורך
סעיף א – וקטורים שווים · המשך
שימו לב: BA אינו שווה ל־AB – יש לו אותו אורך אבל כיוון הפוך.
✅ פתרון סופי: A′B′ , DC , D′C′
סעיף ב – וקטורים נגדיים
המקצועות המקבילים ל־AA′ הם BB′ , CC′ , DD′ (המקצועות הצדדיים). AA′ הולך "למעלה", ולכן הנגדיים הולכים "למטה":
📐 וקטורים נגדיים
A′A = −AA′
B′B = −AA′
C′C = −AA′
D′D = −AA′
✅ פתרון סופי: A′A , B′B , C′C , D′D
📐 וקטורים נגדיים
אותו אורך וכיוון הפוך
YX = −XY
YX = −XY
סעיף ג – וקטורים קולינאריים
הווקטורים AM ו־AB נמצאים על אותו ישר (הישר AB), ולכן הם קולינאריים.
📐 וקטורים קולינאריים
M אמצע AB, ולכן AM הוא חצי מ־AB, ובאותו כיוון:
AM = 12AB
📐 אמצע קטע (M אמצע AB)
גם MB באותו כיוון ובאותו אורך כמו AM:
MB = 12AB
✅ פתרון סופי: כן, AM = 12AB , MB = 12AB
📐 וקטורים קולינאריים
נמצאים על אותו ישר או על ישרים מקבילים
a = k · b
a = k · b
📐 אמצע קטע (M אמצע AB)
AM = MB = 12AB
סעיף ד – אורכי וקטורים
האורך של AC: המשולש ABC ישר־זווית ב־B (בסיס התיבה הוא מלבן).
AC2 = AB2 + BC2
📐 משפט פיתגורס (c – היתר)
נציב AB = 4 , BC = 3:
AC2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25
|AC| = √25 = 5
האורך של AC′: המקצוע CC′ מאונך לבסיס, ולכן הוא מאונך ל־AC. המשולש ACC′ ישר־זווית ב־C, ו־CC′ = AA′ = 12.
📐 משפט פיתגורס (c – היתר)
c2 = a2 + b2
סעיף ד – אורכי וקטורים · המשך
האורך של AC′: המקצוע CC′ מאונך לבסיס, ולכן הוא מאונך ל־AC. המשולש ACC′ ישר־זווית ב־C, ו־CC′ = AA′ = 12.
AC′2 = AC2 + CC′2
📐 משפט פיתגורס (c – היתר)
נציב AC = 5 , CC′ = 12:
AC′2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
|AC′| = √169 = 13
✅ פתרון סופי: |AC| = 5 , |AC′| = 13
📐 משפט פיתגורס (c – היתר)
c2 = a2 + b2
📌 סיכום התשובות
סעיף א
A′B′ , DC , D′C′
סעיף ב
A′A , B′B , C′C , D′D
סעיף ג
כן, AM = MB = 12AB
סעיף ד
5 , 13
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא